そのサイコロの問題でしたら、直感どおりではありますがもちろんBである確率のほうが高いですね。 系 全確率の定理 (有限個の場合) 2.4. {\displaystyle P({\text{U}})=0.005} ベイズの定理 (Bayes theorem) 3.1. P &= \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}, (i = 1, 2, \cdots) 0.005 系 – ベイズの定理 (有限個の場合) 3.3. 例 – 3囚人問題; 3.4. 機械 A で作った製品の中には10%、機械 B の製品の中には20%、機械 C の製品の中には5%の確率で不良品が発生するという。 看守は誰が保釈になるか知っているが、保釈される本人には言えない。 = 事象を次のように定める。, $P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(C) = 0.2$、$P(D|A) = 0.1, P(D|B) = 0.2, P(D|C) = 0.05$ である。, 箱 $A_1$ には黒玉1個、赤玉2個が入っている。箱 $A_2$ には黒玉1個、赤玉3個が入っている。箱をランダムに選んで、玉を1個取り出して確認する試行を考える。このとき、取り出した玉が赤玉である確認を求めよ。, $\Omega$ を「箱を選んで、その箱から玉を1つ取り出す」という試行の標本空間とする。 「3人の囚人 A、B、C は保釈になるチャンスは同じ」であるから、, A が保釈されるとき、B と C は両方保釈されないが、看守が B は保釈されないと答える確率は $\frac{1}{2}$ とすると、, 事象 $B$ が与えられたとき、事象 $A_i$ が起こる条件付き確率 $P(A_i|B)$ を $A_i$ の事後確率 (posterior probability) という。また、$P(B|A_i)$ を事前確率 (prior probability) という。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 事象 $A_1, A_2, \cdots$ を $\Omega$ の分割とし、$P(A_i) > 0, (i = 1, 2, \cdots)$ とする。 A が保釈される事象を $A$、Bが保釈される事象を $B$、Cが保釈される事象を $C$、看守がBは保釈されないと答える事象を $K$ とする。 この式を使うことで、「原因の確率(事後確率)」と呼ばれる、時間に逆行した条件付き確率を求めることができます。, よって本記事では、「ベイズの定理とは何か」から、ベイズの定理を用いる例題 $2$ 選とともに、実生活におけるベイズの定理の応用例まで, 以上 $2$ 点について、さっそくですが実際に問題を解きながら考えていきましょう。, 条件付き確率の公式より、$\displaystyle P(罹|陽)=\frac{P(罹\cap 陽)}{P(陽)}$, よって、両辺に $P(陽)$ をかけると、$$P(罹\cap 陽)=P(陽)P(罹|陽) …①$$, また、$P(陽|罹)$ についても同様に、$\displaystyle P(陽|罹)=\frac{P(陽\cap 罹)}{P(罹)}$, よって、両辺に $P(罹)$ をかけると、$$P(陽\cap 罹)=P(罹)P(陽|罹) …②$$, ①、②より、$P(罹\cap 陽)=P(陽\cap 罹)$ であるから、$P(陽)P(罹|陽)=P(罹)P(陽|罹)$, つまり、ベイズの定理の導出には、条件付き確率の公式や乗法定理しか使っていないんですね!, さて、ベイズの定理が条件付き確率の公式(乗法定理)と本質的には同値であることがわかりました。, ベイズの定理より、$\displaystyle P(罹|陽)=\frac{P(陽|罹)}{P(陽)}P(罹)$ が成り立つ。, ここで、仮定より、$P(陽|罹)=0.95$,$P(罹)=0.001$ であることはわかっている。, ※この部分は、冒頭で紹介したベイズの定理の $1$ 行目から $2$ 行目の式変形に対応している。, 陽性だと診断されても、実際に病気 $X$ に罹患している確率は約 $1$ % であり、これは直感よりかなり低い確率だと思います。, 検査前の太郎さんの罹患率は、$0.1$ % でしたが、陽性だと診断されたので $1$ % に確率が上がりました。, さて、もう $1$ つの応用例としてよく挙げられるのが「迷惑メールフィルター」ですね。, よって、ベイズの定理より、$\displaystyle P_B(A)=\frac{P_A(B)}{P(B)}P(A)$ なので、あとは事前確率や尤度を求めていけばOKとなります。, このように、「何も情報がないとき、全ての事象の発生確率が等しい」と仮定して考えることを”理由不十分の原則“と呼び、ふつうの統計学ではあり得ません。, したがって、求める確率は、$\displaystyle P_B(A)=\frac{0.60×0.50}{0.375}=0.8$ なので、$80$ %となります。. 定理 – ベイズの定理; 3.2. 調査によると、迷惑メールが『登録』という単語を含んでいる確率は $60$ %、一般メールが『登録』という単語を含んでいる確率は $15$ %であるらしい。このとき、無作為に選んだメールが『登録』という単語を含んでいた場合、それが迷惑メールである確率を求めなさい。, $P_A(B)$ は $60$ %とすぐにわかるわね。…あれ?$P(A)$ の確率、つまり迷惑メールである確率って、今回設定されてなくない?, では、体感的に半分ぐらいは迷惑メールだと思うので、$P(A)=50$ % として話を進めますか!, \begin{align}P(B)&=P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})\\&=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)\\&=0.50×0.60+(1-0.50)×0.15\\&=0.375\end{align}, 最後に、「ベイズの定理をもっと詳しく知りたい」という方向けに、僕が大学生のときに読んだオススメ書籍をご紹介します!, 「確率」の総まとめ記事です。確率とは何か、その基本的な求め方に触れた後、確率の解説記事全12個をまとめています。「確率をしっかりマスターしたい」「確率を自分のものにしたい」方は必見です!!, ベイズ統計学 … 理由不十分の原則に基づき、データがないときは主観的に判断してもOK!. ベイズの定理(ベイズのていり、英: Bayes' theorem)とは、条件付き確率に関して成り立つ定理で、トーマス・ベイズによって示された。, なおベイズ統計学においては基礎として利用され、いくつかの未観測要素を含む推論等に応用される。, 一般に、確率および条件付き確率に関して、P(A) > 0 のとき次が成り立つ[1]。, この定理はイギリスの牧師トーマス・ベイズ(c.

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